Question

已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x

已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）2；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，求M的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）易知f′（x）=2x+b．由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）²-4（c-b）≤0，从而c≥

b2

4

+1．
于是c≥1，且c≥2

b2 4 ×1

＝|b|，因此2c-b=c+（c-b）＞0．
故当x≥0时，有（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
即当x≥0时，f（x）≤（x+c）²．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|
当c＞|b|时，有M≥

f(c)?f(b)

c2?b2

=

c2?b2+bc? b2

c2?b2

=

c+2b

b+c

，
令t=

b

c

则-1＜t＜1，

c+2b

b+c

=2-

1

t+1

，
而函数g（t）=2-

1

t+1

（-1＜t＜1）的值域（-∞，

3

2

）
因此，当c＞|b|时M的取值集合为[

3

2

，+∞）．
当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．
此时f（c）-f（b）=-8或0，c²-b²=0，
从而f(c)?f(b)≤

3

2

(c2?b2)恒成立．
综上所述，M的最小值为

3

2