Question

一道高中自主招生数学题，求详细过程。

若函数形式为f(x,y)=a(x)b(y)+c(x)d(y)，其中a(x) ,c(x) 为关于x 的多项式，b(y),d(y)为关于y 的多项式，则称f(x,y)为P类函数，判断下列函数是否为P类函数，并说明理由。
(1) 1+xy
(2)1+xy+x^2y^2 (1+xy+的后面是x的平方乘以y的平方)
答案（1）是。 （2）不是。 但我不懂如何分析。求思路和过程。
注意a(x) ,c(x) 为关于x 的多项式，b(y),d(y)为关于y 的多项式，既然是多项式，a(x)=1 c(x)=x b(y)=1 d(y)=y之类的就不对了。
希望大家想点对的。

第一问的答案：1+xy=(二分之一x减去二分之根号2)（Y减去二分之根号2）+（二分之一x加上二分之根号2）（Y加上二分之根号2）

Answer 1

(1)、因为1=x^0*y^0，所以a(x)=x^0，b(y)=y^0，c(x)=x，d(y)=y，从而1+xy=a(x)b(y)+c(x)d(y)。所以1+xy是P类函数。
（2）、1+xy+x^2y^2=1+xy(1+xy)
因为 xy(1+xy)中xy既是关于x的多项式，又是关于y的多项式，同样(1+xy)也既是关于x的多项式，又是关于y的多项式，所以它无法表示成c(x)d(y)，从而1+xy+x^2y^2不是P函数

下面是多项式的定义：
anx叫做多项式：
　　anx +an-1x+…+a2x +a1x + a0（an≠0） (1)
　　的最高次项或首项。an称为首项系数，非负整数n叫做多项式（1）的次数。
　　最高次项是零次项的多项式，即a(a≠0)的次数为零，叫零次多项式。
所以x^0=1是x的零次多项式，b(y)=y^0=1是y的零次多项式。
所以这个令a(x)=1 c(x)=x b(y)=1 d(y)=y是完全符合多项式的定义的，也就是说完全是没有问题的。

Answer 2

（1）a(x)=1 c(x)=x b(y)=1 d(y)=y
(2)无法写成f(x,y)=a(x)b(y)+c(x)d(y)，其中a(x) ,c(x) 为关于x 的多项式，b(y),d(y)为关于y 的多项式。

Answer 3

其实，用反证法，假设是对的，然后把各多项式用字母表示，再进行运算。是不是就看字母有没有意义。数学的乐趣在于钻研和运算（要快）。很简单的嘛。过程就不说了

追问

第1题用您所说的基本方法还可以试得出来，答案有多种。
但第2题 1+xy+x^2y^2 (1+xy+的后面是x的平方乘以y的平方)
不是P类函数就无法用此法，引进的字母太多，请问您有什么有效方法吗？望赐教，具体点。

Answer 4

手机码字 可能不太详细 a c为关于x的多项式 bd关于y 看第一式 可令a(x)=1 b(y)=1 c(x)=x d(y)=y 但是二式无论提公因式还是怎么化 都不能化成只关于x和y的多项式的乘积或者和 所以1是 2不是