Question

物理微元法问题求解

如图，木块在绳牵引下平动
绳速不变，条件如图（滑轮大小忽略不计，L表示木块到滑轮的距离）所示，求木块瞬时速度和加速度

Answer 1

取极小时间Δt内（Δt→0），物体从A移动到了A'

∵Δθ→0 ∴A'O≈BO  绳子在Δt 内拉长了AB的长度 即AB=v*Δt

而物体的速度v1=AA'/Δt = (AB/cosα) / Δt = v/cosα = [√(L²-H²) / L]*v

然后分析加速度 a=lim (v2-v1)/Δt  (我把lim下面的东东都省略掉了。。没法打)

其中 v2-v1 = lim v/cos(α+Δθ) - v/cosα

Δt = lim Δθ/ω = lim Δθ/(vτ/L) = lim L*Δθ/v*tanα

所以a=lim (v2-v1)/Δt = lim v²tanα * [cosα-cos(α+Δθ)] / [ L*Δθ*cosα*cos(α+Δθ)]

由于分子上有 未知数Δθ  故将分母用三角函数和差化积公式化简 得：

= lim v²tanα*[2sin(α+ Δθ/2 )*sin(Δθ/2)  / L*Δθ*cosα*cos(α+Δθ)]

分子分母同除以2  由于Δθ→0 所以 sin(Δθ/2)=Δθ/2 上下约掉

再将sin(α+ Δθ/2 )近似成sinα  将cos(α+Δθ)近似成 cosα

得到 a = v²sin²α / L*cos³α = v²H²/ [√(L²-H²) ]³ 

建议LZ先将过程全抄到纸上  网页上看这个分数实在很头疼

 

其实像这类题目用速度、加速度的合成分解来做更加简单

由于在绳方向的速度相同所以 v1cosα=v 解得 v= [√(L²-H²) / L]*v

物体的加速度必然水平向右（分析可知） 可将物体看成绕O点转动

其切向加速度 an 提供向心加速度  角速度ω=vτ / L    其中切向线速度vτ=vtanα

用公式 an=ω²L 可解出an 

然后 a=an/cosα=v²H²/ [√(L²-H²) ]³   答案相同但是简单很多

Answer 2

学习了。