Question

已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0

（1）求a的取值范围，（2）设g(x)=f(x)-f'(x)，求在[0,1]上的最大值和最小值
第一问答案是0<=a<=1

Answer 1

（1）f(x)=(ax^2+bx+c)e^x 在[0,1]上单调递减
f'(x)=(2ax+b)e^x+(ax^2+bx+c)e^x=[ax^2+(2a+b)x+(b+c)]e^x<0
e^x>0，∴[ax^2+(2a+b)x+(b+c)]<0 在[0,1]上成立
又f(0)=1 => c=1；f(1)=0 => (a+b+c)e=0 => a+b+c=0 => b=-a-c=-a-1
代入得 ax^2+(a-1)x-a<0
当a≥0时，不等式成立，需使△=(a-1)^2+4a^2=5a^2-2a+1>0，此不等式恒成立
当a<0时，不等式成立，需使△=(a-1)^2+4a^2=5a^2-2a+1<0，此不等式无解
∴ a的取值范围为a≥0
（2）g(x)=f(x)-f'(x)=[(ax^2+bx+c)e^x]-[(2ax+b)e^x+(ax^2+bx+c)e^x]=-(2a+b)e^x=-(a-1)e^x
g(0)=-(a-1)*1=1-a g(1)=(1-a)e
当0≤a≤1时，1-a≥0，最大值为g(1)=(1-a)e，最小值为g(0)=1-a
当a>1时，1-a<0，最大值为g(0)=1-a，最小值为g(1)=(1-a)e