Question

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC。求证：DF=DC.

Answer 1

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC。求证：DF=DC.
证明：
因为ABCD是矩形
所以角B=90度，AD与BC平行且相等
所以角DAF=角AEB
又因为AE=BC
所以AD=AE
因为DF⊥AE
所以角DFA=角B=90度
所以三角形ADF与EAB相等
所以DE=AB
所以DF=DC

Answer 2

证明：连接DE、BD，
显然△ADE和△ADB、△BDC面积相等（等底等高的三角形面积相等）
△ADE的面积=0.5×AE×DF（底乘高除2）
△BDC的面积=0.5×BC×DC
∴AE×DF=BC×DC
又∵AE=CB
∴DF=DC
（不宜用全等进行证明）

Answer 3

证明：连接DE．
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE．
∵有矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠C=90°．
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE=∠C=90°．
∵DE=DE，
∴△DFE≌△DCE．
∴DF=DC．

Answer 4