Question

f(ax+2)≤f(x-4)在x∈[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.

已知f(x)是偶函数，且f(x)在（0，+oo）上满足：
1.对任意x，y∈（0，+oo)总有f(xy)=f(x)+f(y)-2
2.当x＞1时，f(x)＜2
（1）求f(1)值并证明x＞0时，f(1/x)=4-f(x)
(2)利用单调性定义。判断f(x)在（0，+oo)上的单调性
（3）f(ax+2)≤f(x-4)在x∈[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围。
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就第3问不会。过程详细些好吗？

Answer 1

1. 令x=y=1 f(1)=2f(1)-2 f(1)=2
令y=1/x f(1)=f(x)+f(1/x)-2 f(x)+f(1/x)=4 f(1/x)=4-f(x)
2. 令y>1 f(y)<2
xy>x
f(xy)-f(x)=f(y)-2<0
所以f(x)在（0，+oo)上是减函数
3. f(x)是偶函数，在在（0，+∽)上是减函数，则f(x)在(-∽，0)上是增函数
1<=x<=2 -3<=x-4<=-2
f(ax+2)≤f(x-4)在x∈[1,2]上恒成立，
所以 在x∈[1,2] |ax+2|<=2
a^2x^2+4ax+4<=4
a^2x^2+4ax<=0
（1） a=0 满足条件
（2） a≠0
要使 函数y=a^2x^2+4ax 在x∈[1,2] 上<=0恒成立
则
对称轴 -2/a>0 a<0
x=2 a^2x^2+4ax =4a^2+8a<=0 -2<=a<=0
所以 -2<=a<0
综上由（1）（2）可知
实数a的取值范围【-2,0】

Answer 2

-2<=x<=0

Answer 3

2