Question

已知函数f（x）=（x^2+4x+m）/x，x∈［1，+∞） 问，当m=1/4时，求函数f（x）的最小值

Answer 1

m=1/4时，
f(x)=x+4+1/(4x)
下面需判断函数f(x)的单调性
法1，求导
∵f'(x)=1-1/(4x²)=(4x²-1)/(4x)=(2x+1)(2x-1)/(4x²)>0
∴f(x)是[1,+∞)上的增函数
∴x=1时，f(x)取得最小值21/4

法2：单调性定义证明
任取1≤x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+1/(4x1)-x2-1/(4x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/(4x1x2)
=(x1-x2)[1-1/(4x1x2)]
=(x1-x2)(4x1x2-1)/(4x1x2)
∵1≤x1<x2
∴(x1-x2)(4x1x2-1)/(4x1x2)<0
∴f(x1)<f(x2) ,f(x)是增函数

Answer 2

f(x)=(1^2+4*1+1/4)/1=5+1/4