Question

设f(x)在[-π,π]上连续,且满足f(x)=x/(1+cos²x)+∫(上限π,下限-π)f(x)sinxdx,则f(x)=

Answer 1

设∫<-π,π> f(x) sinx dx= C
那么f(x) = x/(1+cos^2x) + C
代入得
∫<-π,π> x/(1+cos^2x) sinx dx = C
所以 2C = ∫<0,π> x/(1+cos^2x) sinx dx
设
f(x) = 1/1+x^2
利用
∫<0,π>xf(sin x)dx=π/2∫<0,π>f(sin x)dx
得 C = π/2 ∫<0,π> 1/(1+cos^2x) sinx dx = π^2/4
所以f(x) = x/(1+cos²x) + π^2/4

追问

设
f(x) = 1/1+x^2
利用
∫xf(sin x)dx=π/2∫f(sin x)dx
得 C = π/2 ∫ 1/(1+cos^2x) sinx dx = π^2/4
所以f(x) = x/(1+cos²x) + π^2/4

看不太懂……可不可以再稍微详细点呢？还有，答案是x/(1+cos²x) + π^2/2

追答

哦，是的，积分的上下限是－π到π，我算成了0，π了，应该乘以2

参考资料： http://zhidao.baidu.com/question/354674968.html