Question

x，y，z为实数，（x+y+z）^2<=3*(x^2+y^2+z^2)

Answer 1

∵(x-y)²≥0
∴x²+y²≥2xy （1）
同理
z²+y²≥2yz （2）
x²+z²≥2xz （3）
（1）+（2）+（3）
2(x²+y²+z²)≥2xy+2yz+2xz （4）
∵x²+y²+z²≥0 （5）

∴（4）两边同时加上（5）
3(x²+y²+z²)≥2xy+2yz+2xz + x²+y²+z²
∴ （x+y+z）²≤3*(x²+y²+z²)

Answer 2

把左边展开，即证2xy+2yz+2zx<=2*(x^2+y^2+z^2)
再用基本不等式x^2+y^2＞=2xy三次即可
或者用柯西不等式

Answer 3

(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2yx+2xy≤x²+y+z²+(x²+y²)+(y²+z²)+(x²+z²)=3(x²+y²+z²)

Answer 4

x^2+y^2>=2xy
右边=x^2+y^2+z^2+（x^2+y^2）+(x^2+z^2)+(y^2+z^2)>=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=(x+y+z)^2