Question

求矩阵特征值和特征向量，对角化(请教详细过程)在线等高手

A=1/4 |2 1 1 |
| 1 2 1 |
| 1 1 2 |

Answer 1

这个不能对角化，特征值1，1，2，当入=2时，r(e-a）=2，只含有一个线性无关的特征向量，故不可以对角化。

Answer 2

分析: 若α是A的属于特征值λ的特征向量
则α是kA的属于kλ的特征向量
由此结论可简化运算

解: 设 B =
2 1 1
1 2 1
1 1 2

B的特征多项式 |B-λE| =
2-λ 1 1
1 2-λ 1
1 1 2-λ

c1+c2+c3
4-λ 1 1
4-λ 2-λ 1
4-λ 1 2-λ

r2-r1,r3-r1
4-λ 1 1
0 1-λ 0
0 0 1-λ

= (4-λ)(1-λ)^2.

所以B的特征值为 4,1,1
对应A的特征值为 1,1/4,1/4.

B-4E=
-2 1 1
1 -2 1
1 1 -2
-->
r3+r1+r2, r1+2r2
0 -3 3
1 -2 1
0 0 0
-->
0 1 -1
1 -2 1
0 0 0
-->
0 1 -1
1 0 -1
0 0 0

得(B-4E)x=0的基础解系为 α1=(1,1,1)^T.

同样, B-E =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
-->
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得(B-E)x=0的基础解系为 α2=(1,-1,0)^T,α3=(1,0,-1)^T.

令P=(α1,α2,α3)=
1 1 1
1 -1 0
1 0 -1

则P可逆, 且 P^-1AP=diag(1,1/4,1/4).

Answer 3

A=
1/2 1/4 1/4
1/4 1/2 1/4
1/4 1/4 1/2
解方程|A-xE|=0，化简得到
(x-1)(x-1/4)(x-1/4)=0
所以特征值是1,1/4,1/4

x=1对应的特征向量：
A-1E=
-1/2 1/4 1/4
1/4 -1/2 1/4
1/4 1/4 -1/2
求(A-1E)x=0的基础解系为[1 1 1]'，所以x=1的特征向量为a1=[1 1 1]'

x=1/4对应的特征向量：
A-(1/4)E=
1/4 1/4 1/4
1/4 1/4 1/4
1/4 1/4 1/4
求[A-(1/4)E]x=0的基础解系为[-1 0 1]'和[-1 1 0]'，所以x=1/4的特征向量为a2=[-1 0 1]'和a3=[-1 1 0]'

对角化:
P=[a1 a2 a3]=
1 -1 -1
1 0 1
1 1 0
则
P^(-1) * A * P =
1 0 0
0 1/4 0
0 0 1/4

追问

解方程|xE-A|=0，化简得到
(x-1)(x-1/4)(x-1/4)=0

就是这步，怎么化简的？谢谢你打了这么多。
因为自学，所以只会点笨方法。
我都给乘开了，(x-1/2)^3+1/32-(x-1/2)3/16=0
但是又不能变成相乘的模式了。eg:(x-1)(x-1/4)(x-1/4)=0
这其中，怎么做，才算是对的呢?

追答

|A-xE|=0的化简如下：（当然你写的|xE-A|=0也是可以的）
|A-xE|=
1/2-x 1/4 1/4
1/4 1/2-x 1/4
1/4 1/4 1/2-x

这个行列式很特殊，每列的和是相同的，所以把第二、第三行都加到第一行上：
=
1-x 1-x 1-x
1/4 1/2-x 1/4
1/4 1/4 1/2-x

这样第一行三个数是一样的，就可以提出一个(1-x):
=
(1-x)*

1 1 1
1/4 1/2-x 1/4
1/4 1/4 1/2-x

然后再把第二列减去第一列，第三列减去第一列，为的是把第一行后两个1变成0：
=
(1-x)*

1 0 0
1/4 1/4-x 0
1/4 0 1/4-x

到此为止第一行只有一个非零元素，可以用行列式的“按第一行元素展开”来化简。就是原行列式的值等于 a11*(a11的代数余子式) + a12*(a12的代数余子式)+...：

=
(1-x) * 1 *

1/4-x 0
0 1/4-x

至此就剩下一个二阶行列式，而且只有主对角线有值，所以很简单，这个二阶行列式就是(1/4-x)(1/4-x),那么再乘上前面的(1-x)，最后特征根就是1, 1/4, 1/4

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自学是挺费劲的，如果是自学的话，上述化简你可能会觉得太巧妙了，想都想不到。但是题目做多了就感觉稀松平常了，所以我之前的解题步骤里都没写，认为行列式化简是基本功。

Answer 4

这个矩阵的太不方便打了。。。随便找一本高等代数（线性代数）的书上面就有，或者你要是懒得看就直接用Matlab之类的算一下