Question

高中数学。定义域为R，y=f（x）是减函数，且函数y=f（x-1）的图像关于（1,0）成中心对称，若s，t满足不等

式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），则当1≤s≤4时，t/s的取值范围是

Answer 1

解：∵函数y=f(x-1)的图象关于（1，0）成中心对称，
∴函数y=f(x)的图象关于（0，0）成中心对称，
即y=f(x)为奇函数.
不等式f(s²-2s)≤－f(2t－t²)可化为
f(s²-2s)≤f(t²-2t)，
又定义在R上的函数y=f(x)是减函数，
∴s²-2s≥t²-2t.（1≤s≤4）
由1≤s≤4，得-1≤s²-2s≤8，∴t²-2t≤8即-2≤t≤4.
s²-2s≥t²-2t可化为t²-s²-2t+2s≤0，
即(t-s)[t-(2-s)] ≤0，
又∵1≤s≤4，∴2-s≤s，
得，2-s≤t≤s，
因此，点（s，t）应在由不等式组①1≤s≤4②-2≤t≤4③2-s≤t≤s所确定的区域D内.
利用线性规划知识可得，区域D内任意一点与原点的连线的斜率的取值范围是[-1/2，1]，
即t/s的取值范围是[-1/2，1].

追问

∵函数y=f(x-1)的图象关于（1，0）成中心对称，
∴函数y=f(x)的图象关于（0，0）成中心对称，
‘为什么“

追答

这个需要理解的，例如f（x）=x的中心对称点时（0,0）
f（x-1）的中心对称点时（1,0）
就是原来的对称中点向右移了1个单位
学函数的时候，应该都知道“左加右减”吧？

Answer 2

当x=1时，f(x-1)=f(0)=0
∴函数y=f(x)的图象关于（0，0）成中心对称，为奇函数
不等式f(s²-2s)≤－f(2t－t²)可化为
f(s²-2s)≤f(t²-2t)，
又定义在R上的函数y=f(x)是减函数，
∴s²-2s≥t²-2t.（1≤s≤4）
由1≤s≤4，得-1≤s²-2s≤8，∴t²-2t≤8即-2≤t≤4.
s²-2s≥t²-2t可化为t²-s²-2t+2s≤0，
即(t-s)[t-(2-s)] ≤0，
又∵1≤s≤4，∴2-s≤s，
得，2-s≤t≤s，
因此，点（s，t）应在由不等式组①1≤s≤4②-2≤t≤4③2-s≤t≤s所确定的区域D内.
利用线性规划知识可得，区域D内任意一点与原点的连线的斜率的取值范围是[-1/2，1]，
即t/s的取值范围是[-1/2，1].