Question

一个关于定积分的问题

某个定积分下限是a，上限趋近于a
那么这个定积分一定趋近于0吗？
我看好多题目直接做出了这样的判断。不知道他们是如何判断的，比如如果被积函数在a的临域中的值可能趋近无穷大呢，面积会不会是极限？
谢谢大家

Answer 1

如果要求定积分的话，那么必须在区间内积分存在，比如tanx在[a,π/2]在a->π/2上的积分其实是不存在的。
因为对于任何一个a < π/2
arctanπ/2 - arctan[a]都是无穷大，所以根本就不存在极限
而另外，如果 a = π/2那么积分一定是0，而不必使用极限。
一般极限只适用于
(1)无穷大/无穷大
(2)无穷小/无穷小
(3)无穷大 * 无穷小
的情况。所以积分是不能这么用极限的。

Answer 2

首先你所描述的应该是反常积分，而且属于积分区间为无穷区间的那一种。
并且这个反常积分不一定有极限，这个要根据具体情况用收敛的判定法则进行判定。即使收敛，其极限也不一定收敛于0