Question

(1)已知数列{an}为等比数列，a3+a6=36,a4+a7=18,若an=1/2,求n (2)设bn=n+x^n,求数列{bn}的前100项和S100

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Answer 1

(1)已知数列{a‹n›}为等比数列，a‹3›+a‹6›=36，a‹4›+a‹7›=18,若a‹n›=1/2，求n
解：a‹3›(1+q³)=36..........(1)
a‹3›(q+q⁴)=18......(2)
(1)÷(2)得(1+q³)/(q+q⁴)=2，即有
2q⁴-q³+2q-1=2q³(q+1)-3q²(q+1)+3q(q+1)-(q+1)=(q+1)(2q³-3q²+3q-1)=0
q≠-1，故必有2q³-3q²+3q-1=2q²(q-1/2)-2q(q-1/2)+2(q-1/2)=(q-1/2)(2q²-2q+2)=0
于是得q=1/2； 而2q²-2q+2=0无实数解(因为其判别式Δ=4-16=-12<0)
代入(1)式得a‹3›=36/(1+1/8)=36×(8/9)=32
于是a‹n›=a‹3›q^(n-3)=32(1/2)^(n-3)=1/2，(1/2)^(n-3)=1/64=(1/2)^6，故n-3=6，于是解得n=9.
(2)设b‹n›=n+x^n,求数列{bn}的前100项和S‹100›
解：S‹100›=(1+2+3+...+100)+(x+x²+x³+⁴+....+x¹ºº)
=[(1+100)×50]+[x(x¹ºº-1)/(x-1)]=5050+x(x¹ºº-1)/(x-1)(x≠1)
若x=1则S‹100›=5050+100=5150.

Answer 2

(1)等比q,首项a1
a3+a6=36=a1(q^2+q^5)
a4+a7=18=q(a3+a6)
q=1/2,a1=128
an=a1*q^(n-1)
1/2=128*(1/2)^(n-1)
n=9
(2)an=n 前n项和 Sn=(1+n)n/2
cn=x^n 前n项和 Mn=x(1-x^n)/(1-x) (x≠1)
=n (x=1)
bn的前n项和Tn=Sn+Mn
=(1+n)n/2+x(1-x^n)/(1-x) (x≠1)
(1+n)n/2+n (x=1)
T100=5050+x(1-x^100)/(1-x) (x≠1)
5150 (x=1)

Answer 3

a3+a6=a3+a3q^3=36
a4+a7=a3q+a3q^4=18，联列两式，得q=1/2,a3=2,an=1/2,所以n=5
bn=n+x^n所以,分组求和，s100=5050+x(1-x^100)/1-x,