Question

在三棱锥S- ABC中,底面ABC是边长为4的正三角形,侧面SAC⊥底面ABC.SA=SC=2√3,M、N分别为AB、SB的中点。

(1)求证:AC⊥SB
(2)求二面角N-CM-B的余弦值
(3)求点S到平面CMN的距离

请用高一知识写出详细过程 谢谢诶...

Answer 1

（1）取AC中点D，连接SD、DB．
∵SA=SC，AB=BC∴SD⊥AC，BD⊥AC，
∴AC⊥平面SDB，又SB⊂平面SDB，
∴AC⊥SB．
（2）∵AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC．
过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连接NF，
则NF⊥CM，∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，
∴SD⊥平面ABC．
又NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．
∵SN=NB，∴NE=(1/2)SD=(1/2)根号(SA^2-AD^2)=(1/2)跟（12-4）=根号2
且ED=EB．在正△ABC中，EF=(1/4)MB=1/2，
在Rt△NEF中，tanNFE=EN/EF=2根号2
∴二面角N-CM-B的正切值为2根号2．
（3）在Rt△NEF中，NF=根号(EF^2+EN^2)=3/2，
∴S[][][]CMN=(1/2)CM NF =3根号3/2
S[][][]CMB=(1/2)BM CM =2根号3
设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴(1/3)S[][][]CMN*h=(1/3)S[][][]CMN*NE，
∴h=S[][][]CMB * NE / S[][][]CMN =4根号2/3．
即点B到平面CMN的距离为4根号2/3．

要求二面角N-CM-B的平面角，方法是做棱CM的垂线，
E是在底面的垂面SDB中过N作DB的垂线交于E,
F是过E做CM的垂线，或者说作AB的平行线，交CM于F,
连接NF, 则NF垂直于CM
于是NFM就是二面角N-CM-B的平面角

S[][][]CMN的[][][] 表示三角形的意思，S[][][]CMN表示三角形CMN的面积
求点到面的距离，三棱锥体积法。用两种方法求棱锥体积，其中一个高h是要求的距离
V B-CMN=V N-CMB, 即 ∴(1/3)S[][][]CMN*h=(1/3)S[][][]CMN*NE，

Answer 2

△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC垂直平面ABC,SA=SC=2倍根号3,M、N由于AC⊥SB （1）由（Ⅰ）得 向量CM=（3，根号3 ，0）， 向量MN