Question

在三棱锥S- ABC中,底面ABC是边长为4的正三角形,侧面SAC⊥底面ABC.SA=SC=2√3,M、N分别为AB、SB的中点。

(1)求证:AC⊥SB
(2)求二面角N-CM-B的余弦值
(3)求点S到平面CMN的距离

请用高一知识写出详细过程 谢谢

Answer 1

⑴取AC中点D,连接SD,BD
∵SA=SC,则在等腰△SAC中，AC⊥SD
同理，在正三角形ABC中，AC⊥BD,
∴AC⊥面SBD
∴AC⊥SB
⑵由⑴知，SD=2√2，BD=2√3，则SB=2√5
在△SBC中，由余弦定理得CN=3
又∵CM=2√3 ,MN=√3 即CN^2+MN^2=CM^2
∴CN⊥MN
过N作CE⊥CM于E,再过E作BM的平行线交BC于F，即EF∥BM
∵NE⊥CM,EF⊥CM ∴∠NEF为二面角N-CM-B
在Rt△CMN中，易得NE=3/2，CE=3√3/2，ME=√3/2
在Rt△CBM中，由EF∥BM得，EF=3/2
在△CBM中，又余弦定理得NF=√3,
即在△NEF中，cos∠NEF=(EF^2+NE^2-NF^2)/2EF*NE=1/3
⑶根据体积来算，设点S到平面CMN的距离为h

V总=1/3*S△ABC*SD=V S-AMC +V S-CMN +V N-BCM=1/3*(1/2*4*2√3)*2√2
1/3*2√3*2√2+1/3*S△CMN*h+1/3*2√3*√2=1/3*(1/2*4*2√3)*2√2
解得h=4√2/3