Question

与双曲线2x²-y²=2共渐近线且与椭圆x²+2y²=2共焦点的双曲线方程是

答案是 6x²-3y²=2 求详细过程

Answer 1

解
可设双曲线方程：
(x²/a²)-(y²/b²)=1 (a＞0, b＞0)
易知，a²+b²=1
b/a=√2
解得：a²=1/3, b²=2/3
∴双曲线方程：
[x²/(1/3)]-[y²/(2/3)]=1
整理就是：6x²-3y²=2

Answer 2

由于要求的双曲线与2x²-y²=2有共同的渐近线，故
设双曲线的方程为2x²-y²=k，
又 与椭圆x²+2y²=2共焦点，
在椭圆中，a²=2，b²=1，所以 c²=a²-b²=1
由于 椭圆的焦点在x轴上，从而 双曲线的焦点在x轴上，所以 k>0
从而 k/2 +k =c²=1，k=2/3
即方程为6x²-3y²=2

Answer 3

设与双曲线2x²-y²=2共渐近线的双曲线方程为
2x²-y²=k
椭圆x²+2y²=2焦点
x^2/2+y^2=1 a^2=2 b^2=1 c^2=a^2-b^2=1
c=1
2x²-y²=k 化标准方程
x^2/(k/2)-y^2/k=1
a^2=k/2 b^2=k
c^2=a^2+b^2=3k/2=1
k=2/3
代入 2x²-y²=k
得6x²-3y²=2