Question

用定义法判断函数y=x3的单调性.

Answer 1

这个函数是y=x³的话，
证明：任意取x1，x2∈R，且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)=(x1)³－(x2)³=(x1－x2)((x1)²－x1x2＋(x2)²)
当0＜x1＜x2时
∵x1＜x2
∴x1－x2＜0
∵(x1)²＋(x2)²＞2x1x2
∴(x1)²－x1x2＋(x2)²＞0
∴(x1－x2)((x1)²－x1x2＋(x2)²)＜0
∴f(x1)－f(x2)＜0
∴f(x1)＜f(x2)
∴函数y=x³在区间（0，﹢∞）为单调递增函数
同理可证得，函数y=x³在区间（－∞，0）为单调递增函数
∴函数y=x³在区间（－∞，﹢∞）为单调递增函数

Answer 2

证明：
函数f(x)=x³.
定义域为R

可设a，b∈R，且a＜b
f(a)-f(b)
=a³-b³
=(a-b)(a²+ab+b²)
=(a-b){[a+(b/2)]²+(3b²/4)}
易知，恒有：[a+(b/2)]²+(3b²/4)＞0
又a＜b ∴a-b＜0
∴f(a)＜f(b)
即：当a＜b时，就有f(a)＜f(b)
∴在R上，函数f(x)=x³递增。

Answer 3

设a>0
(x+a)3-x3=(x+a-x)((x+a)2+(x+a)x+x2)=a(3x2+3ax+a2)=a(3(x+0.5a)2+a2/4)>0
单调增