Question

若a,b为正数，且a+b=1,求证：（a+2)^2+(b+2)^2≥25/2。

Answer 1

（a+2)^2+(b+2)^2

≥1/2[(a+2)^2+(b+2)^2+2(a+2)(b+2)]………………利用不等式（a+2)^2+(b+2)^2≥2(a+2)(b+2)
=1/2[(a+2)+(b+2)]^2
=1/2(1+4)^2
=25/2
取等号时a=b

追问

（a+2)^2+(b+2)^2≥1/2[(a+2)^2+(b+2)^2+2(a+2)(b+2)]这能解释下吗？

追答

利用不等式（a+2)^2+(b+2)^2≥2(a+2)(b+2)，代进去，

（a+2)^2+(b+2)^2

=1/2[(a+2)^2+(b+2)^2]+1/2[(a+2)^2+(b+2)^2]
≥1/2[(a+2)^2+(b+2)^2+2(a+2)(b+2)]

Answer 2

1=（a+b）^2= a^2+b^2+2ab≤2（a^2+b^2）
a^2+b^2≥1/2
（a+2）^2+（b+2）^2=a^2+4a+4+b^2+4b+4= a^2+b^2+12≥25/2