Question

汤家凤反常积分判别法是怎么得来的,下图这个式子看不明白

如果把式子写成f(x) / (1/x^a) 这样不管a取多少,x趋向无穷时,分母都是趋向0啊?

Answer 1

x的a次方的a，是用来抵消F(x)的阶数的，根据定型极限存在，提供的次数，恰好与F(x)自带的x的次方一致，就可以了，此时可以看出a的大小，也就可以判断敛散性了。

这里只是证明的式子

实际上f(x)等价于ax^m，g(x)等价于bx^n

直接就可以代入得到

f[g(x)]等价于a(bx^n)^m

即ab^m x^mn

这里的证明过程就是分子分母同时乘以[g(x)]^m

于是用等价无穷小代入二者的比值为1

再凑出常数即可。

混合反常积分：

对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。

因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。

Answer 2

x的a次方的a，是用来抵消F(x)的阶数的，根据定型极限存在，提供的次数，恰好与F(x)自带的x的次方一致，就可以了，此时可以看出a的大小，也就可以判断敛散性了