Question

关于反常积分判定，大家看看这个无界的反常积分，课本直接算，怎么不要先判定敛散性？还有这个能否用课本

关于反常积分判定，大家看看这个无界的反常积分，课本直接算，怎么不要先判定敛散性？还有这个能否用课本提供方法，判定敛散性。毕竟，这题里面X上面带个平方，所以不知道如何做了。

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Answer 1

这个瑕积分不需要用那些判定定理。因为这个瑕积分，课本上直接用了瑕积分收敛的最基本定义来求的，能求出来就说明收敛，求出来是无穷就不收敛

追问

我主要是想问，想这个题，如果想用判定法判定的话是否可以？如果都不行，那可能就是出题时会故意避开X平方项。

追答

可以用定义判定干嘛要用判定方法

追问

定义我知道可以，是因为有公式。但是总可以尝试多一种思路吧？我想知道，课本给的判定法是不是有局限性

追答

还真有

追问

有什么？

追答

比如你图片上的那种判别法，用在你这题，q=1。无法判定是否收敛

但是用定义就可以

理论上讲，定义是肯定可以判定的

但是其他判定方法就不一定了

追问

如果按课本讲，判定结果，1是发散的，问题在于，判定法是X一次项。两次方判定法应该实效，所以做题时，碰到这种敛散验证，应该都是一次的。

嗯，结论应该就是这样。

Answer 2

这和敛散性好像没有关系吧，瑕点在边界上，使积分区间是开区间或半开半闭区间，都是可以忽略的，可以直接按常规定积分做，只有瑕点在区间中才需要分开分别积分。至于积分存不存在，也就是敛散性，应该是先得出不定积分的原函数，代入区间后才算出来的。

追问

错误。说得不对

追答

怎么不对？定积分算的是面积，忽略一个瑕点的那条线完全不影响，它们完全不是同级的。

只有广义积分或叫无穷积分(即积分区间无界，至少一边含无穷大)才需要判定被积函数的敛散性。

追问

你也仅仅知道定积分与不定积分的区别而已，定积分确实是求面积，中间断开确实可以，但是不是全部都行的，可以有也可以没有，得判定敛散后才知道有还是没有，不然发散啥意思？发散就是没有。你好好看看课本吧，差得太远了。

Answer 3

引用zytcrown的回答：
这个瑕积分不需要用那些判定定理。因为这个瑕积分，课本上直接用了瑕积分收敛的最基本定义来求的，能求出来就说明收敛，求出来是无穷就不收敛

首先感谢提问者与答题大神，时隔三年，问题依然对我有帮助。我只想补充一句，考研数学一，2010年第三道选择题使用的判别法就是题主给出的定理7。定理还是能解决定义解决不了的一些事情，存在即合理嘛