Question

已知△ABC的三边a,b,c满足a+b>=2c求证C>=60度

Answer 1

应该是：角C＜＝60度吧？

a+b≥2c,
(a+b)^2/4≥c^2,
-(a+b)^2/4<=-c^2,
所以
c^2=a^2+b^2-2abcosC
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
>=(a^2+b^2-(a+b)^2/4)/2ab
=(3a^2+3b^2-2ab)/8ab
>=(6ab-2ab)/8ab
=1/2
即cosC>=1/2,
所以
∠C≤60°.

Answer 2

题目错了，应改为C≤60°

证明
因为a,b,c是△ABC的三边
所以a,b,c都是正数
因为a+b>=2c
所以（a+b）²≥4c²
即c²≤（a+b）²/4
-c²≥-（a+b）²/4
所以
a²+b²-c²≥a²+b²-（a+b）²/4
=[3a²+3b²-2ab]/4
=[2a²+2b²+(a-b)²]/4
≥[2a²+2b²]/4 ——（a-b)²≥0
=（a²+b²）/2
≥ab

根据余弦定理
cosC=（a²+b²-c²）/（2ab）
≥ab/(2ab)=1/2
因为余弦函数在第一象限角时为减函数，
所以C≤60°

Answer 3

根据三角函数定理：∵a + b≥2c ∴A +B ≥2C 又∵A +B +C = 180° 即A +B = 180° - C ∴180° - C≥ 2C 3C≤ 180° C≤ 60° .

追问

：∵a + b≥2c ∴A +B ≥2C怎么来的