Question

若函数f(x)=x^3-6bx+3b在(0,1)内有最小值,则实数b的取值范围

Answer 1

f’(x)=3x^2-6b=3(x^2-2b)
1、若b<0，则f’(x)恒大于0，原函数为增函数，不符题意。
2、若b=0，则原函数f(x)=x^3，也为增函数，不符题意。
3、若b>0，令f’(x)=3(x^2-2b)>0，
求得：原函数的增区间为x<-√(2b)或x>√(2b)，相应地，其减区间为-√(2b)<x<√(2b)，
从而知，极小值点在x=√(2b)时取得。
依题意有0<√(2b) <1
解之得0<b <1/2

综上所述，b的取值范围为0<b<1/2。

Answer 2

由题意得，函数f（x）=x3-6bx+3b 的导数为 f′ （x）=3x2-6b 在（0，1）内有零点，
且 f′ （0）＜0，f′（1）＞0． 即-6b＜0，且 （3-6b）＞0．
∴0＜b＜1/2，
故答案为：(0，1/2)．

Answer 3

b》=三分之一