Question

设函数f(x)是定义在R上的增函数,令g(x)=f(x)-f(2011-x)

1.求证：g（x）+g（2011-x）为定值（已证）
2.判断g（x）在R上的单调性，并证明

Answer 1

(1)原式=f(X)-f(2011-x)+f(2011-x)-f(x)=0（定值）
(2)设x1>x2,
g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(2011-x1)-f(x2)+f(2011-x2)
=f(x1)-f(x2)+f(2011-x2)-f(2011-x1)
因为f(x)是增函数，所以f(x1)>f(x2),f(2011-x2)>f(2011-x1)
所以 f(x1)-f(x2)>0 ,f(2011-x2)-f(2011-x1)>0
所以 g(x1)-g(x2)>0 ,g(x1)>g(x2)
所以g(x)是增函数，即单调递增

哪部不懂可以问

Answer 2

g(x)在R上是增函数
证明如下：
任取x1<x2
∴g(x1)-g(x2)
=f(x1)-f(2011-x1)-f(x2)+f(2011-x2)
=f(x1)-f(x2)+f(2011-x2)-f(2011-x1)
∵x1<x2 f(x)是R上的增函数∴f(x1)-f(x2)<0
∵x1<x2 ∴2011-x1>2011-x2 ∴f(2011-x1)>f(2011-x2) 即：f(2011-x2)-f(2011-x1)<0
∴f(x1)-f(x2)+f(2011-x2)-f(2011-x1)<0
∴g(x1)-g(x2)<0 即：g(x1)<g(x2)
∴g(x)在R上是增函数