Question

如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边

分别交AB于点M，交AC 与点N，连接MN
求证：BM+CN=MN

Answer 1

证明：如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，
∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，
又∵BM=CE，BD=CD，
∴△CDE≌△BDM，
∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，
∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
∵在△DMN和△DEN中，
      DM=DE

     ∠MDN=∠EDN=60°

     DN=DN

∴△DMN≌△DEN，
∴MN=NE=CE+CN=BM+CN

Answer 2

作bd dc的中点qe，在哦连接mq，和ne qe，ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，，所以mnqe是平行四边形，即mn=2分之1bc，所以：BM+CN=MN

Answer 3

如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．可以证明并计算出周长为6

Answer 4

证：
延长AB致E使得BE=CN，连接DE
∠DBC=∠DCB=30°且DB=DC
∴∠DBA=∠DCA=90°
于是ΔDBE≌ΔDCN（SAS）
∴DN=DE且∠BDE=∠CDN
∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠CDN+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°
∴ΔEDM≌ΔNDM（SAS）
∴MN=EM=BM+BE=BM+ CN
证毕

Answer 5

用同一法做。
做NK=NC且∠DNK=∠DNC,连接KD、MK
这时△DNC≌△DKN(SAS)
∴KD=CD=BD
∵∠NDC+∠BDM=60°
∴∠BDM=∠MDK
∴△BDM≌△KDM
∴∠MKN=∠MKD+∠NKD=∠ABD+∠ACD=90°+90°=180°
∴BM+CN=MN