如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,
(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1.(3)求二面角C1-AB-C的正切值....
(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1.(3)求二面角C1-AB-C的正切值.
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1)因为 直三棱柱ABC—A1B1C1,
所以 CC1⊥面ABC
所以 BC为BC1在面ABC上的投影
因为 AC^2+BC^2=9+16=25=AB^2
所以 三角形ABC为直角三角形
所以 BC⊥AC
又因为 BC为BC1在面ABC上的投影
所以 BC1⊥AC
(2)
设CB1与C1B的交点为E,连接DE
∵D是AB的中点,E是BC1的中点
∴DE‖AC1
∵DE(平面CDB1,AC1¢平面CDB1
∴AC1‖平面CDB1
(3)解:过点C作CF⊥AB于F,连接C1F
由已知C1C垂直平面ABC,则∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角
在Rt△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,则CF=12/5
又CC1=AA1=4
∴tan∠C1FC=5/3
∴二面角C1-AB-C的正切值为5/3
所以 CC1⊥面ABC
所以 BC为BC1在面ABC上的投影
因为 AC^2+BC^2=9+16=25=AB^2
所以 三角形ABC为直角三角形
所以 BC⊥AC
又因为 BC为BC1在面ABC上的投影
所以 BC1⊥AC
(2)
设CB1与C1B的交点为E,连接DE
∵D是AB的中点,E是BC1的中点
∴DE‖AC1
∵DE(平面CDB1,AC1¢平面CDB1
∴AC1‖平面CDB1
(3)解:过点C作CF⊥AB于F,连接C1F
由已知C1C垂直平面ABC,则∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角
在Rt△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,则CF=12/5
又CC1=AA1=4
∴tan∠C1FC=5/3
∴二面角C1-AB-C的正切值为5/3
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证明∵AC=3,BC=4,AB=5,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥C1C,
又BC∩C1C=C,∴AC⊥平面BCC1,
又BC1⊂平面BCC1,∴AC⊥BC1.
(2)证明:令BC1交CB1于点O,连接OD,
∵O、D分别是BC1和AB的中点,
∴OD ∥且=1/2 AC1,又OD⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1
解:过C点作CE⊥AB于E,连接C1E,
∵CC1⊥AB,CE⊥AB,∴∠CEC1(或其补角)即是C1-AB-C的平面角,
在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,AB=5,由AB•CE=AC•BC得CE=12/5,
∵CC1⊥平面ABC,∴CC1⊥CE,∴△CEC1是Rt△,
又∵CC1=AA1=4,CE=12/5,∴C1E=√CC1²+CE²=(4√34)/5
∴cos∠CEC1=CE/C1E=(3√34)/34
即二面角C1-AB-C的余弦值为(3√34)/34
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥C1C,
又BC∩C1C=C,∴AC⊥平面BCC1,
又BC1⊂平面BCC1,∴AC⊥BC1.
(2)证明:令BC1交CB1于点O,连接OD,
∵O、D分别是BC1和AB的中点,
∴OD ∥且=1/2 AC1,又OD⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1
解:过C点作CE⊥AB于E,连接C1E,
∵CC1⊥AB,CE⊥AB,∴∠CEC1(或其补角)即是C1-AB-C的平面角,
在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,AB=5,由AB•CE=AC•BC得CE=12/5,
∵CC1⊥平面ABC,∴CC1⊥CE,∴△CEC1是Rt△,
又∵CC1=AA1=4,CE=12/5,∴C1E=√CC1²+CE²=(4√34)/5
∴cos∠CEC1=CE/C1E=(3√34)/34
即二面角C1-AB-C的余弦值为(3√34)/34
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