Question

已知正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长为√2a

1.求它的外接球的体积
2.求它的内接球的表面积

Answer 1

如图 

AB=a; OB=√2a 

易知 

BE=a√2/2 

EG=a/2 

正四棱锥的外接球和内切球球心肯定在OE上，设外接球球心为M，内切球球心为N 

且符合以下条件： 

外接球：OM=MB（到顶点距离相等） 

内切球：NE=NF（到面距离相等） 

因此，我们得到△OBE 

BE=a√2/2 

OB=a√2 

因此∠BOE=30度 

OE=BE×√3=a√6/2 

故OM=MB=OE/2=a√6/4 

即外接圆半径为a√6/4 

考查△OEG， 

EG=a/2 

OE=a√6/2 

故OG=a√7/2 

根据三角形面积关系,设NE=NF=n 

S△ENG+S△ONG=S△OEG 

n×EG+n×OG=EG×OE 

n*a/2+n*a√7/2=a*a√6/4 

n=a√6×(√7-1)/12 

即内切球半径为 

a√6×(√7-1)/12

 

半径都出来了，体积和表面积，自己算吧……