Question

（1-x）^n展开式的第二项、第三项及第四项系数的绝对值成等差数列，试求展开式的中间项

中间详细过程

Answer 1

展开式中第二项、第三项、第四项系数的绝对值分别为 n ，n(n-1)/2 ，n(n-1)(n-2)/6 ，
由已知可得 n+n(n-1)(n-2)/6=n(n-1) ，
两端除以 n 得 1+(n-1)(n-2)/6=n-1 ，
化简得 n^2-9n+14=0 ，
解得 n=7 或 n=2（舍去）
展开共 8 项，中间有两项，分别是第四项 T4=C(7，3)(-x)^3= -35x^3 ，
第五项 T5=C(7，4)(-x)^4= 35x^4 。

Answer 2

由二次项展开式易知第二，三，四项系数的绝对值分别为：
n, n(n-1)/2, n(n-1)(n-2)/6 ,他们成等差数列
所以 2*n(n-1)/2=n+n(n-1)(n-2)/6
即n(n^2-9n+14)=0,
解得n=0,或2 ,或7
由题意知：n>=4,故为7，
所以展开式中间项为第四项：n(n-1)(n-2)/6(-x)^3=-35x^3.
第五项：n(n-1)(n-2)/6(-x)^4=35x^3.