Question

如图,已知长方形ABCD中,AD=6cm,AB=4cm,点E为AD的中点.若点P在线段AB上以1cm/s的速

如图，已知长方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？

Answer 1

（1）∵1秒后，AP=BQ=1，BP=AB-AP=3=AE,
又∵∠A=∠B，
∴△AEP≌△BPQ,
∴∠APE=∠BQP，
又∵∠BPQ+∠PQB=90°，
∴∠APE+∠BPQ=90°，
∴∠EPQ=180°-(∠APE+∠BPQ)=90°，
∴PE⊥PQ

（2）运动时间为t秒时，AP=BQ=t，BP=4-t，
∴S=S梯形-S△APE-S△BPQ
=2(3+t)-3t/2-t(4-t)/2
化简得S=t²/2-3t/2+6

(3)由（1）得当AP=BQ，AE=BP时，△AEP与△BPQ全等，
但此时P、Q的速度相等，不符题意；
∴设AP=PB，AE=BQ时，△AEP≌△BQP
此时AP=BP=AB/2=2，
∴t=2/1=2
∴Q速度=BQ/2=AE/2=3/2厘米/秒