Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D都有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）

1.求f（1）的值
2.判断f（x）的奇偶性并证明你的结论
3.若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3的解集

Answer 1

f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) (1)
1. 在（1）式中令 x1=x2=1，得 f(1)=f(1)+f(1)，所以 f(1)=0
2.在(1)式中，令 x1=X2=-1，得 f(1)=f(-1)+f(-1)，所以 f(-1)=0
再在（1）式中令 x1=-1，x2=x，得 f(-x)=f(-1)+f(x)，即 f(-x)=f(x)
从而 f(x)是偶函数。从而 f(|x|)=f(x).
3. 因为 f(4)=1，所以 f(16)=f(4)+f(4)=2，f(64)=f(16)+f(4)=3，
所以 不等式 f(3x+1)+f(2x-6)≤f(64)
即 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)
所以 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)
因为f(x)在（0，+∞）上是增函数，所以 |(3x+1)(2x-6)|≤64
|3x²-8x-3|≤32，
所以 3x²-8x-3≤32，
且 3x²-8x-3≥-32，
即 3x²-8x-35≤0 ①
且 3x²-8x+29≥0 ②
解①得-7/3≤x≤5
②的解集为R,
从而原不等式的解集为 [-7/3，5]