Question

如图，正方形ABCD的边长为a，分别以四个顶点为圆

如图，正方形ABCD的边长为a，分别以四个顶点为圆

Answer 1

如图，正方形ABCD的边长为a，分别以四个顶点为圆心，以边长a为半径画弧，求四条孤围口成的阴影部分的面积？

设正方形边长 a＝1 厘米，则

先求30°等腰三角形的面积，

∵直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，

∴等腰三角形的高是圆半径的一半，1÷2＝0.5（厘米）

∴直角三角形的另一直角边长是：1×cos30°＝√3/2 ≈ 0.87（厘米）

小三角形的底是：1 - 0.87 ＝0.13（厘米）

等腰三角形的底（小三角形的斜边）长是：√（0.13²+0.5²）≈ 0.52（厘米）

四个等腰三角形的底组成一个正方形，

用半径1厘米角度是30°的扇形面积减去等腰三角形的面积等于圆弧的面积；

∴阴影部分的面积是：四个圆弧的面积加上一个正方形的面积，即

阴影部分的面积是：

（1²×3.14×（30°/360°）- 1×0.5÷2）×4 + 0.52×0.52

＝（3.14÷12 - 0.25）×4 + 0.2704

≈（0.26 - 0.25）×4 + 0.2704

＝0.01×4 + 0.2704

＝0.04+ 0.2704

＝0.2744（平方厘米）

所以，阴影部分的面积是 0.2744a 平方厘米。