Question

求微分方程的特解

求微分方程的特解我这样做对吗？后面的积分做不出来了

Answer 1

求微分方程 y''=e^(2y)满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解
解：设 y'=p，则y''=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy；
于是有pdp/dy=e^(2y)； pdp=e^(2y)dy=(1/2)e^(2y)d(2y)；故 p²=e^(2y)+c₁;
代入初始条件：x=0时y=0,y'=p=0，故c₁=-1；于是 p²=e^(2y)-1；
∴p=y'=±√[e^(2y)-1]；∴∫dy/√[e^(2y)-1]=±∫dx；
令e^y=secu，则y=lnsecu；dy=[(secutanu)/secu]du=tanudu;
∴∫tanudu/√(sec²u-1)=∫du=u=±∫dx=±x+c₂;
∵e^y=secu=1/cosu, 故cosu=1/e^y，u=arccos(1/e^y);
于是得arccos(1/e^y)=±x+c₂，即cos(c₂±x)=1/e^y=e^(-y);
代入初始条件 y(0)=0得c₂=0；故特解为：cosx=e^(-y)；或写成y=-ln(cosx);

Answer 2

积分之后都写错了，等号右侧积分错了

Answer 3

Answer 4

Answer 5

这什么呀！完全看不懂。