Question

如图，在四边形ABCD中，角ABC=30°，角ADC=60°，AD=CD，求证：BD²=AB²+BC²

Answer 1

如图，∵DA=DC，∠ADC=60°，

∴将△BCD绕点D逆时针转60°得△EAD，

∴AE=CB, ED=BD，∠EDA=∠BDC，∠DEA=∠DBC,

∴∠EDB=∠ADC=60°，

∴△BDE是正△，∴BE=BD，

∵∠DEA+∠DBA=∠CBD+∠DBA=30°，∠EDA+∠BDA=60°，

∴∠DAE+∠DAB=180*2-(∠DEA+∠DBA)-(∠EDA+∠BDA)=270°

∴∠EAB=90°，

∴AE²+AB²=BE²

∴BD²=BA²+BC²

Answer 2

 

证明：

如图，在BD的下方作等边△BDE

 

∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°

∴∠1=∠3

 

同时AD=CD,BD=DE

∴△ADB≌△CDE

∴DE=BD，CE=AB……①

∠5=∠A

 

又∵∠ABC=30°，∠ADC=60°

∴∠4+∠A=270°

即∠4+∠5=270°

∴∠6=90°

 

∴BE²=CE²+BC²

据①式，即BD²=AB²+BC²