Question

如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB,AE=AB=BF,且点E.F在直线AB上，求证：CE垂直DF

Answer 1

证明：设CE与DF交于点O
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC
∵BC＝2AB
∴AD＝2AB
∵AE＝AB＝B，BF＝AB+AE，AF＝AB+BF
∴BE＝2AB，AF＝2AB
∴BE＝BC，AF＝AD
∴∠E＝∠BCE，∠F＝∠ADF
∵AB∥CD
∴∠E＝∠DCE，∠F＝∠CDF
∴∠ADC＝2∠F，∠BCD＝2∠E
∵AD∥BC
∴∠ADC+∠BCD＝180
∴2∠E+2∠F＝180
∴∠E+∠F＝90
∴∠EOF＝180-（∠E+∠F）＝90
∴CE⊥DF

Answer 2

证明：
设EC交AD于点M，DF交BC于点N，连结MN．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC平行且等于AB，则DC平行且等于EA．
∴△DCM≌△AEM，∴AM=MD．
同理BN=NC．
∵AD平行且等于BC，∴MD平行且等于NC，
∴四边形CDMN为平行四边形．
又BC=2AB，∴CD=AB=2分之1BC=CN．　　∴□CDMN为菱形，∴CM⊥DN，即CE⊥DF．

Answer 3

记EC与AD交于M，DF与BC交于N，可证三角形EAM全等于三角形DCM（角EAM=角MDC，角EMA=角DMC,EA=CD）所以AM=DM，因为BC=2AB，则EA=MA,则角MEA=45°。同理可得角NFB=45°，所以EC垂直于DF

Answer 4

解：
∵AE=AB=BF
BC=2AB
∴EB=BC
且角E=角ECB
∵在平行四边形ABCD中
DC//EF
∴角E=角ECD
且角ECD=角ECB
∵在平行四边形ABCD中
AD=BC
∴AD=AF
且角F=角ADF
∵CD//EF
∴角F=角FDC
且角ADF=角FDC
∵在平行四边形ABCD中
AD//BC
∴角ADC+角BCD=180度
∵角ECD=角ECB
角ADC=角FDC
∴角FDC=角ECD=90度
∵三角形的内角和是180度
∴EC垂直DF

Answer 5

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