Question

数列an+1=an2+an（n+1为脚标）,a1=1,求证1/(a1+1)+1/(a2+1)+1/(a3+1)+...+1(an+1)<1/2

Answer 1

题目出错了，不等号方向反了，而且没有规定n的取值。

证：
假设当n=k(k∈N，且k≥1)时，ak>0，则当n=k+1时，a(k+1)=ak²+ak=ak(ak+1)
ak>0 ak +1>0 a(k+1)>0
k为任意正整数，因此an>0，即数列各项均>0
a(n+1)=an²+an
a(n+1)/an=an+1>1
a(n+1)>an，数列为递增数列。
a2=a1²+a1=1+1=2
n≥2时，an≥2 1/an≤1/2

a(n+1)=an²+an
1/a(n+1)=1/[an²+an]=1/[an(an +1)]=1/an -1/(an +1)
1/(an +1)=1/an -1/a(n+1)
1/(a1+1)+1/(a2+1)+...+1/(an +1)
=1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+...+1/an -1/a(n+1)
=1/a1 -1/a(n+1)
=1 -1/a(n+1)
n≥1，n+1≥2 a(n+1)≥2 0<1/a(n+1)≤1/2
1/2≤1-1/a(n+1)<1

1/2≤1/(a1+1)+1/(a2+1)+...+1/(an +1) <1

其实很容易看出题目错了，容易得到数列各项均为正。n=1时，1/(a1+1)=1/(1+1)=1/2，光第一项就不小于1/2了。

Answer 2

an+1=an2+an（n+1为脚标）这个再写清楚点

追问

第n+1项等于第n项的平方与第n项的和。

追答

后面的a1+1是第二项还是第一项加1？

追问

第一项加1哈

Answer 3

an2是什么意思，写清楚一点。