Question

求∮[(X+Y)dX/(X^2+Y^2)-(X-Y)dy/(X^2+Y^2)]（其中L为圆周x^2+y^2=a^2）,逆时针方向

Answer 1

P = (x+y) / (x^2+y^2)
Q = (y-x) / (x^2+y^2)
dQ/dx =( -(x^2+y^2) - 2x(y-x) ) / (x^2+y^2)^2
dP/dy = ( (x^2+y^2) - 2y(x+y)) / (x^2+y^2)^2
所以dQ/dx　－　dP/dy　＝　0
由格林公式有原来的积分为0

追问

原点在这个区域内，不能用格林公式啊·

追答

哦，是的，设
x=rcost
y=rsint
由于是沿着x^2+y^2=a^2，所以r=a,dr=0
dx=rdcost+costdr=costdr-rsintdt = -asintdt
dy=rdsint+sintdr=sintdr+rcostdt = acostdt
原来的积分可以化简为
∫a(cost+sint)(-asintdt)/a^2 - a(cost-sint)(acostdt)/a^2
=∫(-cos^2t-sintcost-cos^2t+sintcost)dt
=-2∫cos^2tdt
=-2π