Question

求问各位一道高中数学关于导数的问题，麻烦各位朋友们帮忙看下~

已知f′(x)=lim{[f(x)-f(x0)]/x-x0} ，f(3)=2 ，f′(3)=-2 ，则lim{[2x - 3f(x)]/x-3}的值是( )
下面是解：
f′(3)=lim{[f(x) - f(3)]/x - 3} ∵f(3)=2 ，f′(3)= -2 ∴lim{[f(x) - 2]/ x - 3} = -2 ①
∴f(x)= -2x + 8 ②，∴lim{[2x -3f(x)]/x - 3}=lim{[2x - 3(-2x + 8)]/x - 3} = 8

这里我有两处不是太明白，一是为什么f′(3)会等于lim{[f(x) - f(3)]/x - 3}，
而不是lim{[f(3)-f(x0)]/3-x0}呢？ 二是在导数中可以进行像①②那样的运算吗？我刚学到导数有些概念可能还不是很清楚，麻烦各位好心的朋友帮帮我~ 感谢ing……

Answer 1

导数是“差商的极限”，显示在图像上是图像某一点切线斜率，即有正负之分。
①式是代人f(3)=2 到f′(3)=lim{[f(x) - f(3)]/x - 3} 式中。②是把①中极限符号去掉（有定义区间上连续函数极限为其函数值，函数可导必连续），x-3乘给右边即可得。最后一步不解释了。

追问

不好意思，才回复。我想在问下。当 lim{[f(x) - 2]/ x - 3} = -2 ①时，难道不是指x趋近于极值（这里是x趋近于3）时等于-2吗？这么的话，如果去掉极限符号等式右边的 -2 还会存在吗？

追答

好像也是，x=3处好像g（x）=[f(x) - 2]/ x - 3不连续，可能题目有些不严谨，但现在只能如此理解。

Answer 2

关于f′(3)的导数的计算是严格符合导数定义的，请详细阅读导数定义。
①②两部的运算符合极限的四则运算法则，但用此种方式求解较繁，建议将待求式分子+6，-6整理成题目给定求导公式即可得解。

Answer 3

首先，你的第一个不明白的地方，对于为什么是答案那样，那是因为导数的定义，你看题目所给出的，是F(X)—F(X0)和下面的X—X0。 其中F(X)是表达式，是未知需要求的，而F(X0)是代入了一个数到表达式所求的数字，不包含未知量X，下面的也是，对于此题，X0就是3，代入就是。其次，对于你第二个不明白的地方，导数是“差商的极限”，显示在图像上是图像某一点切线斜率F’(3)=—2，可以确定斜率是-2，然后F(3)=2，就可以确定常数是8。 所以F(X)=—2X+8。 手机回答的，可能讲解的不太好，不过还是希望对你有帮助。。

Answer 4

看着晕