Question

一道高中数学题，求解答

已知a∧2+b∧1+c∧2＝2,x∧2+y∧2+z∧2＝5，则ax+by+cz的最大值为多少
不好意思手机打的，是平方，还有，算出来是7/2的朋友。正确答案是根号10，我不知道过程。求解答

Answer 1

"∧2"是平方的意思么？b是二次方么？？如果答案都是“是”的话，见下：
a∧2+b∧2+c∧2＝2 ①
x∧2+y∧2+z∧2＝5 ②
①+②：（a∧2+x∧2）+（b∧1+y∧2）+（c∧2+z∧2）=7 ③
∵2mn≤m²+n²
2（ax+by+cz）≤③
所以ax+by+cz的最大值为7/2

Answer 2

(a∧2+b∧2+c∧2)(x∧2+y∧2+z∧2)≥（ax+by+cz）^2
即ax+by+cz≤根号10

柯西不等式

“a∧2+b∧1+c∧2”应该是“a∧2+b∧2+c∧2”

追问

这个我们没有学喔。答案确实是根号十，能给个我们学过了的过程吗，。谢谢了

追答

令:
A=a∧2+b∧1+c∧2＝2
B=x∧2+y∧2+z∧2＝5
C=ax+by+cz
A·B-C^2
=(a²y²-abxy)+(b²x²-abxy)+(a²z²-acxz)+(c²x²-acxz)+(b²z²-bczy)+(c²y²-bczy)
=ay(ay-bx)+bx(bx-ay)+az(az-cx)+cx(cx-az)+bz(bz-cy)+cy(cy-bz)
=(ay-bx)²+(az-cx)²+(bz-cy)²≥0
当且仅当ay=bx az=cx bz=cy，即a=b=c,x=z=y时，等号成立
即A·B-C^2≥0
之后代入ABC即可

其实，以上算是柯西不等式的证明
柯西只是对一类问题的总体性的公式，对于两项三项可以自己推倒，整理式子的时候需要点小技巧

Answer 3

b确定是一次方？

(a∧2+b∧2+c∧2)(x∧2+y∧2+z∧2)≥（ax+by+cz）^2
即ax+by+cz≤根号10

用的是柯西不等式，至于如何推出来的，高中课本上有的

Answer 4

∧ 这是什么意思啊？ 估计用到 均值不等式哪里的知识，1.你可以考虑 1的代换。
2.你可以考虑，还原法。

Answer 5

√10

追问

能告诉我怎么算的吗，谢谢了

追答

柯西不等式

追问

没有学过啊，有没有高中学过的方法嘛