Question

定理5：线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b).而定理5就是定理3（第一个）

定理3：n元线性方程组Ax=b,（第一个）无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)。我觉得两个不一样，怎么能一样呢？求高手？下面放了两张图分别代表定理5和定理3。

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Answer 1

注:由于非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是 r(A)=r(A,b)
所以只需证明:r(A) = m 时,必有 r(A)=r(A,b).
证明:因为r(A) = m
所以 A 的行向量组的秩 = m
而A是m×n矩阵
所以 A 的行向量组线性无关.
又由线性无关的向量组添加若干个分量仍线性无关 (这是定理)
所以 (A,b) 的行向量组线性无关
所以 (A,b) 的行向量组的秩 = m
所以 r(A,b) = m = r(A).
故非齐次线性方程组AX=b有解 #
注:r(A)

追问

不是太懂，你是说定理5和定理3第1小项是一样的吗。定理5是有解，定理3是无解，两者一样吗？求知？