Question

如何求隐函数的导数

比如 方程
Y^2+XY+3X=9怎么求导?

Y^3+Y^2+XY+X^2怎么求导?

请把过程说详细点,适当解释一下.谢谢了!!!

Answer 1

就是把y当成x的函数就行了。
y^2+xy+3x=9
两边对x求导
y^2这一项先对t^2求导,得2y,然后再对y求导，得到y'
也就是2y*y'
xy这一项按照乘积求导=x'y+xy'=y+xy'
3x求导=3，9求导=0
2y*y'+y+xy'+3=0【3】
(2y+x)y'=-3-y【2】
y'=(-3-y)/(2y+x)【1】
注意，如果你要求二阶导数的话，应该在【3】的左边继续求，而不要将【1】代入，这样最麻烦。

另一个同理：
y^3=3y^2*y'
y^2=2y*y'
xy=x'y+xy'=y+xy'
x^2=2x
再整理成关于y'的等式就行了。

Answer 2

方法一：对方程两端关于x求导，其中将y看作x的函数，最后得到一个含有x、y、y'的方程，将y'解出来即可；
以第一个为例（第二个不是一个方程）
2yy'+y+xy'+3=0
y'=-(y+3)/(2y+x)
方法二：将方程中非零的项移到一端，令为一个二元函数，分别求二元函数对x，y的偏导数（此时不能将y看着x的函数了），y'=-对x的偏导/对y的偏导（高等数学下册多元函数中得到的公式）
令F(x,y)=y^2+xy+3x-9
对x的偏导 F'(x)=y+3
对y的偏导 F'(y)=2y+x
所以y'=-(y+3)/(2y+x)

方法学会了吧，希望你能看懂，其它的自己搞定了。

Answer 3

把y当成x的函数
y^2+xy+3x=9
两边对x求导
y^2这一项先对t^2求导,得2y,然后再对y求导，得到y'
也就是2y*y'
xy这一项按照乘积求导=x'y+xy'=y+xy'
3x求导=3，9求导=0
2y*y'+y+xy'+3=0 (*)
整理,得
y'=(-3-y)/(2y+x)
求二阶导数，直接用(*)式进行同样的运算

第二个为
y'(3y^2+2y+y+x)+2x
好象只能这样...

Answer 4

兄弟你高中啊,大学一年级的话,书上有的啊

就是两边求导,不过对Y的导数按照复合求导计算
Y^2+XY+3X=9
则 2Y*Y'+Y+X*Y'+3=0
可以写成Y='''''了
一般来说,复杂的隐函数的导数表达式中是同时存在X Y 的,具体到木个点的话,就直接可以计算出了

Answer 5

所谓隐函数、只是说它的解析式
其本质也是Y是X的函数，X为自变量
第一道题中的y+x(dy/dx)
都是xy对x求导的结果
这是两个函数相乘求导
（uv）'=u'v+uv'
而e导数就为0
第二道题也是一样
-2y+2xy'
都来自于对-2xy的求导