Question

请问这道题目的过程应该怎么解答

Answer 1

(1)因为f(x)单调递减，且可导，所以f'(x)<0,于是，对所有的x，
F'(x)=f(x)-2x, F''(x)=f'(x)-2<0.
由此可见，F(x)在实数轴上是凸的。
(2)因为
积分{0,1}f(x)dx>积分{0,1}2dx=2,所以
F(1)>2-1-1=0, F(0)=-1<0.
又因为F(x)是连续的，由连续函数的零点定理，方程F(x)=0,在(0,1)内有一个根。
又因为f(x)单调递减，f(1)=2，
当0<x<1时，F(x)>F(1)=f(1)-2=0，F(x)当0<x<1时单调递增，至多只可能有一个根。
所以，方程F(x)=0,在(0,1)内有且只有一个根。

Answer 2

第一问

Answer 3

求导

Answer 4

(1) F'(x)＝f(x) - 2x，F''(x)＝f'(x) - 2，
由于 f(x) 递减可导，因此 f'(x)＜0，
所以 F''(x)＜0，因此 F(x) 是凸函数。
(2) 由于 F''(x)＜0，
因此 F'(x) 在(0，1)上递减，
又 F'(1)＝f(1) - 2＝0，
因此 F'(x) 在 (0，1) 上为正，
所以 F(x) 在 (0，1) 上为增函数，
又 F(0)＝ - 1＜0，
F(1)＝∫(0→1) f(x)dx - 2
＞∫(0→1) 2 dx - 2
＝2 - 2 ＝0，
所以由介值定理，F(x)＝0 在(0，1)内有唯一实根。

追问

你好，上面的都看懂特别是划线的部分是怎么来的，它是说明什么的？

上面的都看懂了，就这一部分没看懂。特别是划线的部分是怎么来的？

他是说明什么证明什么的？

就是为什么那里会＞后面那个式子

追答

f(x)在(0，1)上减，且f(1)＝2，因此 f(x)＞2，所以在(0，1)上积分＞2的积分，这是要证明函数F(1)＞0，结合F(0)＜0，就可以证明有根，再利用单调性就证明是单根。

Answer 5

你求个导试试呗。。。