Question

一道高数题，关于级数收敛和有界

请问这道题，函数有界为什么是对一切n，不是存在N>0，当x>N时函数才小于M吗，这样的话，这个方法就不适用这道题了，那应该怎么做呢？求解答

Answer 1

解：(1)，∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(2n+1)/(2n+3)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=x2/R<1，级数收敛。∴其收敛区间为，丨x丨<1。而，当x=±1时，级数∑1/(2n+1)、-∑1/(2n+1)均发散。∴其收敛域为丨x丨<1。 (2)，设S(x)=∑x^(2n+1)/(2n+1)。在其收敛区间上、有S(x)对x求导，有S'(x)=∑x^(2n)=x2/(1-x2)。 ∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=∫(0,x)[1/(1-x2)-1]dx=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]-x。供参考。