Question

一道微积分题目？

一道微积分题目:f(x)在区间[a,b]上可导,b>a>0,证:2x(f(b)-f(a))=(b²-a²)f'(x)在（a,b）至少有一个根
目前只学到罗尔定理，应该是要找出一个函数，求大神指点

Answer 1

把题抄全好吗？你肯定漏重要条件了，这题罗尔中值定理根本无法解，而用罗尔定理后面的格拉朗日定理却可以证明你这题是一道错题。

其实这题是有两个格拉朗日中值定理的，左右同除以(b-a)，左边可以得到[f(b)-f(a)]/(b-a)，这是f(x)的中值定理，右边可以得到(b^2-a^2)/(b-a)，这是x^2的中值定理，它的导数正好是2x，得正好x^2和f(x)的拉格朗日点一样，才能得到方程的解，而条件中根本无法确定它们的拉格朗日点一致，所以是错题。

Answer 2

以下是chatgpt来回答的。
根据题意，我们需要证明：
2x(f(b)-f(a))=(b²-a²)f'(x)在（a,b）
由于f(x)在区间[a,b]上可导，所以f(x)在(a,b)上也可导。根据微积分中的中值定理，我们可以得到：

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
其中c∈(a,b)。将上式代入原式，得到：

2x(f(b)-f(a))=2xf'(c)(b-a)

又因为：
b²-a²=(b-a)(b+a)
所以：
2xf'(c)(b-a)=(b²-a²)f'(c)
因此，原式得证。

Answer 3

这个题目非常的难。我可以介绍你一个教授给你解答这个问题。

Answer 4

有点难哈哈哈哈哈哈。。。。

Answer 5

2x(f(b)-f(a))=(b²-a²)f'(x)
两边积分：
x²(f(b)-f(a))=(b²-a²)f(x)
x²(f(b)-f(a))-(b²-a²)f(x)=0
定义：
F(x)=x²(f(b)-f(a))-(b²-a²)f(x)
F(a)=a²(f(b)-f(a))-(b²-a²)f(a)
=a²f(b)-a²f(a)-b²f(a)+a²f(a)
=a²f(b)-b²f(a)
F(b)=b²(f(b)-f(a))-(b²-a²)f(b)
=b²f(b)-b²f(a)-b²f(b)+a²f(b)
=a²f(b)-b²f(a)
F(a)=F(b)
根据罗尔定理，有ξ∈（a，b），使得：
F'(ξ)=0
F'(x）=2x(f(b)-f(a))-(b²-a²)f‘(x)
∴2ξ(f(b)-f(a))-(b²-a²)f‘(ξ)=0
2ξ(f(b)-f(a))=(b²-a²)f‘(ξ)
ξ就是满足要求的根。