Question

反常积分 敛散性 判断的问题

Answer 1

要判断无穷积分∫(-∞,+∞)f(x)dx的敛散性
首先应该任取定a∈(-∞,+∞)
然后讨论：
∫(-∞,a)f(x)dx
∫(a,+∞)f(x)dx
二者的敛散性
在这个时候要特别注意：
∫(-∞,a)f(x)dx=lim (u→ -∞)∫(u,a)f(x)dx
∫(a,+∞)f(x)dx=lim (t→ +∞)∫(a,t)f(x)dx
在取极限的时候，二者不能用同一个指标（一定要分开，用两个指标u,t）

为什么要这样做？？？
先看定义：
设函数f在R的任一子区间上可积，取a∈(-∞,+∞)，若 ∫(-∞,a)f(x)dx 和 ∫(a,+∞)f(x)dx 都收敛，
则称∫(-∞,+∞)f(x)dx收敛且：∫(-∞,+∞)f(x)dx=∫(-∞,a)f(x)dx + ∫(a,+∞)f(x)dx
从定义中可以看到：∫(-∞,a)f(x)dx 和 ∫(a,+∞)f(x)dx 二者并无绝对的联系
可说二者互不干涉，因此对指标的选定一定要作出区分！！！
所以题目中用同一个R来做指标是不对的

从另一个角度来看
上述定义中说到：函数f在R的任一子区间上可积
而我们用同一指标根本不能满足定义所说的任一子区间
既然连定义的条件都不能满足，更不要说收敛了~~

有不懂欢迎追问

Answer 2

我看了你的问题，我认为是你对R的定义理解错了，R趋向于正无穷，但是R并不等于正无穷，总能找出一个趋向于正无穷的数大于R，或者说R只是一个值，一个趋向于正无穷大的值而已，所以R趋于正无穷时极限存在并不能说明在负无穷到正无穷上的积分存在