Question

已知函数y=sinx+根号(1+cosx^2),求函数的最值

因为(sinx)²+[√(1+(cosx)²]²=2
所以 sinx=√2cosa
√(1+(cosx)²=√2 sina 代入原式
则 cosa√2+sina√2=2(√2/2 cosa+√2/2 sina)=2sin(派/4 + a)
又因为 -1≤sinx≤1
所以 -1≤√2cosa≤1
- √2/2 ≤cosa≤√2/2
k派+派/4 ≤ a ≤k派+3派/4

√(1+(cosx)²≥0
√2 sina≥0
sina≥0
2k派≤a≤2k派+派
所以 派/4 ≤a≤3派/4
即 当a=派/4 ymax=2
当a= 3派/4 ymin=0

Answer 1

解：y=√[1-(cosx)²]+√[1+(cosx)²]
则有y²=1-(cosx)²+1+(cosx)²+2×√{[1-(cosx)²][1+(cosx)²]}
=2+2×√[1-(cosx)^4]
当cosx=0时
有(y²)max=2+2×√1=4
所以ymax=2
此时sinx=1 cosx=0

追问

如果用参数的方法做呢？

追答

设cosx=t∈[-1,1]
sinx=根号(1-t²)∈[-1,1]
之后按上面的方法即可