Question

高中平面向量问题 求解该题的题型是什么，考察的知识点是什么，以及详细解题过程，谢谢大佬们！！

已知D是△ABC的边BC的中点，过点D作直线MN与AB，AC交于点M,N,且AM向量＝xAB向量,AN向量＝yAC向量，(x,y＞0)，则3x＋y的最小值是？

Answer 1

从问题来看，考的是均值不等式，当3x=y时3x+y取最小值。
对于一个确定的三角形，一旦规定了AM和AB的关系即x的值，就可以确定AN和AC的关系即y的值。
所以要利用向量的性质，由向量AM=x向量AC，一步步转化得一个含有向量AM，向量AN，向量AB，向量AC，向量BC以及x的等式。这样就得到了x和y的关系。
最后结合3x=y，可得x(和三角形的边长有关)，y(和三角形的边长有关)，3x+y的值。

Answer 2

考查的知识点是三点共线和均值定理，
因为 D 是 BC 中点，
所以 AD＝1/2 AB＋1/2 AC
＝1/(2x) AM＋1/(2y) AN，
因为 M、D、N 三点共线，
所以 1/(2x)＋1/(2y)＝1，
所以 3x＋y＝(3x＋y)[1/(2x)＋1/(2y)]
＝(3/2＋1/2)＋(3x)/(2y)＋y/(2x)
≥ 2＋2√(3/2 * 1/2)
＝2＋√3，
当 1/(2x)＋1/(2y)＝1，且 (3x)/(2y)＝y/(2x)，即 x＝(3＋√3)/6，y＝(√3＋1)/2 时，所求 3x＋y 最小值为 2＋√3。