Question

求定积分的问题

Answer 1

原式=[1/√(2π)]*∫(-∞,+∞) e^{y-[(y-μ)^2]/2}dy

=[1/√(2π)]*∫(-∞,+∞) e^{-[y^2-2(μ+1)y+μ^2]/2}dy
=[1/√(2π)]*∫(-∞,+∞) e^{-[(y-μ-1)^2-2μ-1]/2}dy
=[1/√(2π)]*e^(μ+1/2)*∫(-∞,+∞) e^{-[(y-μ-1)^2]/2}dy
令x=y-μ-1，则y=x+μ+1，dy=dx
原式=[1/√(2π)]*e^(μ+1/2)*∫(-∞,+∞) e^[-(x^2)/2]dx
令A=∫(-∞,+∞) e^[-(x^2)/2]dx=∫(-∞,+∞) e^[-(z^2)/2]dz
A^2=∫(-∞,+∞) e^[-(x^2)/2]dx*∫(-∞,+∞) e^[-(z^2)/2]dz
=∫∫(R) e^[-(x^2+z^2)/2]dxdz
做极坐标变换
=∫(0,2π) dθ*∫(0,+∞) e^[-(r^2)/2]rdr
=-2π*∫(0,+∞) e^[-(r^2)/2]d[-(r^2)/2]
=-2π*e^[-(r^2)/2]|(0,+∞)
=-2π*(0-1)
=2π
因为e^[-(x^2)/2]恒大于0，所以A恒大于0，即A=√(2π)
综上所述，原式=[1/√(2π)]*e^(μ+1/2)*A
=e^(μ+1/2)

Answer 2

对指数配方，换元即可。

Answer 3

希望写的很清楚，望采纳

追答

拍个清楚的