求(1+X)(1+2X)···(1+NX)的展开式中X^2项的系数
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设 u = 1+2+3+...+n = n(n+1)/2
从1+x,1+2x,1+3x,......1+nx中任意取2项的组合为x^2的系数
那么x^2的系数为
[ 1*(u-1)+2(u-2)+3(u-3)+...+n(u-n) ] / 2
= [ u^2 - (1*1+2*2+...+n*n) ] / 2
= [ n^2(n+1)^2 / 4 - n(n+1)(2n+1)/6 ] / 2
= ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( 3 n + 2) / 24
从1+x,1+2x,1+3x,......1+nx中任意取2项的组合为x^2的系数
那么x^2的系数为
[ 1*(u-1)+2(u-2)+3(u-3)+...+n(u-n) ] / 2
= [ u^2 - (1*1+2*2+...+n*n) ] / 2
= [ n^2(n+1)^2 / 4 - n(n+1)(2n+1)/6 ] / 2
= ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( 3 n + 2) / 24
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