Question

△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作∠MDN，使∠MDN=60°，

点M，N分别在AB、AC上，求△AMN的周长

Answer 1

 

证明：如图，在AC延长线上截取CM1=BM，
∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCM1=90°，
∵BD=CD，
∵在Rt△BDM≌Rt△CDM1中，
 BD=CD 

∠ABD=∠DCM1=90° 

CM1=BM   ，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1（SAS），
得MD=M1D，∠MDB=∠M1DC，
∴∠MDM1=120°-∠MDB+∠M1DC=120°，
∴∠NDM1=60°，
∵MD=M1D，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=NM1，
故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2．

Answer 2

 

证明：如图，在AC延长线上截取CM1=BM，
∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCM1=90°，
∵BD=CD，
∵在Rt△BDM≌Rt△CDM1中，
 BD=CD 

∠ABD=∠DCM1=90° 

CM1=BM   ，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1（SAS），
得MD=M1D，∠MDB=∠M1DC，
∴∠MDM1=120°-∠MDB+∠M1DC=120°，
∴∠NDM1=60°，
∵MD=M1D，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=NM1，
故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2