Question

求解一道初二数学题？

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=- 1/2x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(-4，-4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．
（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（写解题过程）

非常渴望您的帮助，我不会着急采纳，只求您的详细解答！谢谢！

Answer 1

（1）∵CD=10，点C的坐标为（-4，-4），
∴点D的坐标为（-4，6）
把点D（-4，6）代入 y=-1/2x+m得，m=4．
∴直线l的解析式是 y=-1/2x+4

（2）∵ y=-1/2x+4，
∴A（8，0），B（0，4），
过点C画CH⊥y轴于H，则CH=OH=4，BH=8．
在△AOB和△BHC中，
∵AO=BH，∠AOB=∠BHC，BO=CH，
∴△AOB≌△BHC
∴AB=BC，∠HBC=∠OAB，
∴∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形

（3） P1(-4，8/3)，P2(-4，8)，P3(-4，-1/2)，P4(-4，4)．

追问

第三个问题，您能帮忙找找解析吗？

追答

（1）由点C的坐标和CD的长，求出点D的坐标，再把点D的坐标代入y=-
1
2
x+m求得m的值，即可求得直线l的解析式；
（2）由直线l的解析式可求得点A、B的坐标，过点C画CH⊥y轴于H，则CH=OH=4，BH=8．求证△AOB≌△BHC即可求得AB=BC，∠HBC=∠OAB，进而求得∠ABC=90°；
（3）此题应分作三种情况考虑，可先设出平移后直线l的解析式（由于是平移，故斜率不变），然后表示出A'、B'的坐标，进而可得到它们的中点坐标；
①以P为直角顶点，那么此时P点为A'B'的中垂线与直线CD的交点，可根据A’B'中点（M）的坐标及直线AB的斜率求出此中垂线的解析式，进而得到P点坐标的表达式，若△A′B′P是等腰直角三角形，则PM=
1
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A'B'，可据此列出关系式求出P点的坐标；
②以B'为直角顶点，那么点P为过B点且与直线A'B'垂直的直线的解析式，可根据点P的坐标求出这条直线的解析式，然后表示出点P的坐标，进而根据△A′B′P是等腰直角三角形得到A'P=A'B，以此列方程求得P点坐标；
③以A'为直角顶点，方法同②．

Answer 2

解：（1）∵CD=10，点C的坐标为（-4，-4），
∴点D的坐标为（-4，6）（2分）
把点D（-4，6）代入y=-1 2 x+m得，m=4．
∴直线l的解析式是y=-1 2 x+4；（4分）
（2）
∵y=-1 2 x+4，
∴A（8，0），B（0，4），
过点C画CH⊥y轴于H，则CH=OH=4，BH=8．
在△AOB和△BHC中，
∵AO=BH，∠AOB=∠BHC，BO=CH，
∴△AOB≌△BHC（6分）
∴AB=BC，∠HBC=∠OAB，
∴∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形；（8分）菁优网有很详细的解析的
（3）P1(-4，8 3 )，P2(-4，8)，P3(-4，-12)，P4(-4，4)．