Question

已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x(k为常数,e=2.71828...是自然对数的底数)曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线与x轴平

行（1）求k（2)f(x)单调区间（3）g(x)=(x^2+x)f'(x),对任意x>0,g(x)<1+e^(-2)

Answer 1

I）函数f(x)=lnx+k ex (k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）， ∴f′(x)=1 x -lnx-k ex =1-xlnx-kx xex ，x∈（0，+∞）， 由已知，f′(1)=1-k e =0，∴k=1． （II）由（I）知，f′(x)=1 x -lnx-1 ex =1-xlnx-x xex ，x∈（0，+∞）， 设h（x）=1-xlnx-x，x∈（0，+∞），可得h（x）在（0，+∞）上是减函数， 又h（1）=0， ∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0， 当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0． 综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递加区间是（1，+∞）． （III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e-2，故只需证明g（x）＜1+e-2在0＜x＜1时成立． 当0＜x＜1时，ex＞1，且g（x）＞0，∴g(x)=1-xlnx-x ex ＜1-xlnx-x． 设F（x）=1-xlnx-x，x∈（0，1），则F'（x）=-（lnx+2）， 当x∈（0，e-2）时，F'（x）＞0，当x∈（ e-2，1）时，F'（x）＜0， 所以当x=e-2时，F（x）获得最大值F（e-2）=1+e-2． 所以g（x）＜F（x）≤1+e-2． 综上，对恣意x＞0，g（x）＜1+e-2．

Answer 2

k=1
0<x<1,单调递曾，x>1,单调递减
f(x)的导数 【e^x-(lnx+k)e^x】/e^2x
x=1时，分子为 e-ke=0,k=1
e^2x恒大于0，,由 e^x-(lnx+k)e^x>0,得0<x<1,单调递曾，
同理e^x-(lnx+k)e^x<0,x>1,单调递减

追问

请详细点，为什么k=1?

追答

曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线与x轴平行，则斜率为0，在该点导数为0

Answer 3

Answer 4

最重要的